Грозит ли чем-то копирование сайта?

В этом деле важно понимать два момента:
1) Следить за нарушением авторских прав — задача авторов, а не государства.
2) Авторские права существуют на некоторый объект, в данном случае это может быть либо программа для ЭВМ, либо сборник контента/база данных. В случае с программой необходимо провести экспертизу исходного кода сайта и вашей копии. В другом случае достаточно изменить небольшую деталь алгоритма/форму/состав, чтобы сайт стал официально просто похожим, а не клоном.

p.s.
Посмотрите в google play клонов популярных игр — никто их не наказывает за плагиат.

p.s.s.
Может оказаться, что руководители скопированного сайта живут с вами в одном городе/стране и захотят лично побеседовать на эту тему.

Во-первых, это аморально. «Жнешь там, где не сеял». С какого хрена ты вообще считаешь себя вправе так делать, даже если обойдешься без уголовного преследования?

Во-вторых, цель добиться популярности весьма иллюзорна. Чтобы система стала популярной, ее надо продвигать и поддерживать. Просто своровать и где-то выложить — недостаточно. И даже если вдруг чудо и она кому-то понадобилась — ты-то здесь при чем? Ты ее даже написать не смог, поддерживать эту «свою» не сможешь тем более.

Ну и в-третьих, это все бред. Никому не всрались эти закрытые CMS-ки, нет в них ни черта уникального и ценного. Их главное преимущество и цель существования — это уменьшить расходы студии на конвейер по клепанию одного и того же да привязка клиента именно к этой студии, потому что больше в их велосипеде никто не разбирается. Оставь тот велосипед на улице — только такой же жадный неуч и подберет.

Да — это нарушение авторских прав.
Разумеется, решение может вынести только судья, его можно оспорить в высшей инстанции и т.д., но даже создание продукта сходного до степени смешения (эту степень определит суд, юристы будут спорить, аргументировать, экспертизы и т.д.) есть нарушение авторских прав.
А вы хотите и дизайн скопировать и функционал и даже название!

Я ни к чему не призываю, но если вдруг кто то выложит такую систему или бесплатную копию анонимно, нарушение конечно же будет, но сделать что то с этим будет трудно т.к. искать анонима из за такой ерунды вряд ли станут.
Тут, конечно, вопрос инфобеза — какие там айпишники, впнки, следы, юрисдикция хостера — но в общем как то так.

А умнее не копипастить продукт, а экспроприировать (морской термин) идею, улучшать её (добавить фишки, понять чего людям не хватает, что там не нравится) и выпускать конкурентный, легальный и платный продукт.

Да, будет ответственность.
И об этом обычно предупреждают на самом сайте, что его нельзя копировать ни в каком виде.
Вот пример из Хабра: